預(yù)測技術(shù)之三——指數(shù)平滑法

　　指數(shù)平滑法（Exponential Smoothing，ES）是布朗（Robert G……Brown）所提出，布朗認(rèn)為時間序列的態(tài)勢具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時間序列可被合理地順勢推延；他認(rèn)為最近的過去態(tài)勢，在某種程度上會持續(xù)的未來，所以將較大的權(quán)數(shù)放在最近的資料。

　　指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預(yù)測中常用的一種方法。也用于中短期經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢預(yù)測，所有預(yù)測方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。簡單的全期平均法是對時間數(shù)列的過去數(shù)據(jù)一個不漏地全部加以同等利用；移動平均法則不考慮較遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)，并在加權(quán)移動平均法中給予近期資料更大的權(quán)重；而指數(shù)平滑法則兼容了全期平均和移動平均所長，不舍棄過去的數(shù)據(jù)，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)離，賦予逐漸收斂為零的權(quán)數(shù)。

　　也就是說指數(shù)平滑法是在移動平均法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時間序列分析預(yù)測法，它是通過計算指數(shù)平滑值，配合一定的時間序列預(yù)測模型對現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測。其原理是任一期的指數(shù)平滑值都是本期實際觀察值與前一期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均。

　　基本公式St= a* yt+（1- a）* St-1

　　St——時間t的平滑值；

　　yt——時間t的實際值；

　　St-1——時間t-1的平滑值；

　　a——平滑常數(shù)，其取值范圍為[0，1]；

　　由該公式可知：1.St是yt和 St-1的加權(quán)算數(shù)平均數(shù)，隨著a取值的大小變化，決定yt和 St-1對St的影響程度，當(dāng)a取1時，St= yt；當(dāng)a取0時，St= St-1. 2.St具有逐期追溯性質(zhì)，可探源至St-t+1為止，包括全部數(shù)據(jù)。其過程中，平滑常數(shù)以指數(shù)形式遞減，故稱之為指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑常數(shù)取值至關(guān)重要。平滑常數(shù)決定了平滑水平以及對預(yù)測值與實際結(jié)果之間差異的響應(yīng)速度。平滑常數(shù)a越接近于1，遠(yuǎn)期實際值對本期平滑值的下降越迅速；平滑常數(shù)a越接近于 0，遠(yuǎn)期實際值對本期平滑值影響程度的下降越緩慢。由此，當(dāng)時間數(shù)列相對平穩(wěn)時，可取較大的a；當(dāng)時間數(shù)列波動較大時，應(yīng)取較小的a，以不忽略遠(yuǎn)期實際值的影響。生產(chǎn)預(yù)測中，平滑常數(shù)的值取決于產(chǎn)品本身和管理者對良好響應(yīng)率內(nèi)涵的理解。

　　據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。

　　一次指數(shù)平滑預(yù)測當(dāng)時間數(shù)列無明顯的趨勢變化，可用一次指數(shù)平滑預(yù)測。

　　其預(yù)測公式為：yt+1'=ayt+（1-a）yt' 式中，yt+1'——t+1期的預(yù)測值，即本期（t期）的平滑值St ； 　yt——t期的實際值； 　yt'——t期的預(yù)測值，即上期的平滑值St-1 .該公式又可以寫作：yt+1'=yt'+a（yt- yt'）?？梢?，下期預(yù)測值又是本期預(yù)測值與以a為折扣的本期實際值與預(yù)測值誤差之和。

　　二次指數(shù)平滑預(yù)測二次指數(shù)平滑是對一次指數(shù)平滑的再平滑。它適用于具線性趨勢的時間數(shù)列。

　　其預(yù)測公式為：yt+m=（2+am/（1-a））yt'-（1+am/（1-a））yt=（2yt'-yt）+m（yt'-yt） a/（1-a）式中，yt= ayt-1'+（1-a）yt-1 　顯然，二次指數(shù)平滑是一直線方程，其截距為：（2yt'-yt），斜率為：（yt'-yt） a/（1-a），自變量為預(yù)測天數(shù)。

　　二次指數(shù)平滑基本公式 St=αSt+（1-α）St-1 Yt+T=at+btT at=2St-St bt=（α/1-α）（St-St）

　　St——第t期的一次指數(shù)平滑值 St——第t期的二次指數(shù)平滑值 α——平滑系數(shù) Yt+T——第t+T期預(yù)測值 T——由t期向后推移期數(shù)三次指數(shù)平滑預(yù)測三次指數(shù)平滑預(yù)測是二次平滑基礎(chǔ)上的再平滑。

　　其預(yù)測公式是：yt+m=（3yt'-3yt+yt）+[（6-5a）yt'-（10-8a）yt+（4-3a）yt]*am/2（1-a）2+ （yt'-2yt+yt'）*a2m2/2（1-a）2 式中，yt=ayt-1+（1-a）yt-1它們的基本思想都是：預(yù)測值是以前觀測值的加權(quán)和，且對不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)，新數(shù)據(jù)給較大的權(quán)，舊數(shù)據(jù)給較小的權(quán)。

　　3.盡管St包含有全期數(shù)據(jù)的影響，但實際計算時，僅需要兩個數(shù)值，即yt和 St-1，再加上一個常數(shù)a，這就使指數(shù)滑動平均具有逐期遞推性質(zhì)，從而給預(yù)測帶來了極大的方便。

　　4.根據(jù)公式S1=ay1+（1-a）S0，當(dāng)欲用指數(shù)平滑法時才開始收集數(shù)據(jù)，則不存在y0.無從產(chǎn)生S0，自然無法據(jù)指數(shù)平滑公式求出S1，指數(shù)平滑法定義S1為初始值。初始值的確定也是指數(shù)平滑過程的一個重要條件。

　　如果能夠找到y(tǒng)1以前的歷史資料，那么，初始值S1的確定是不成問題的。數(shù)據(jù)較少時可用全期平均、移動平均法；數(shù)據(jù)較多時，可用最小二乘法。但不能使用指數(shù)平滑法本身確定初始值，因為數(shù)據(jù)必會枯竭。

　　如果僅有從y1開始的數(shù)據(jù)，那么確定初始值的方法有：1）取S1等于y1；2）待積累若干數(shù)據(jù)后，取S1等于前面若干數(shù)據(jù)的簡單算術(shù)平均數(shù)，如：S1=（y1+ y2+y3）/3等等。

　　一段時間內(nèi)收集到的數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的上升或下降趨勢將導(dǎo)致指數(shù)預(yù)測滯后于實際需求。通過趨勢調(diào)整，添加趨勢修正值，可以在一定程度上改進(jìn)指數(shù)平滑預(yù)測結(jié)果。調(diào)整后的指數(shù)平滑法的公式為：包含趨勢預(yù)測（YITt）=新預(yù)測（Yt）+趨勢校正（Tt）

　　進(jìn)行趨勢調(diào)整的指數(shù)平滑預(yù)測有三個步驟：

　　1、 利用前面介紹的方法計算第t期的簡單指數(shù)平滑預(yù)測（Yt）；

　　2、 計算趨勢。

　　其公式為： Tt=（1-b）Tt-1+b（Yt-Yt-1）

　　其中，Tt=第t期經(jīng)過平滑的趨勢；

　　Tt-1=第t期上期經(jīng)過平滑的趨勢；

　　b=選擇的趨勢平滑系數(shù)；

　　Yt=對第t期簡單指數(shù)平滑預(yù)測；

　　Yt-1=對第t期上期簡單指數(shù)平滑預(yù)測。

　　3、計算趨勢調(diào)整后的指數(shù)平滑預(yù)測值（YITt）。計算公式為：YITt=Yt+Tt.

　　模型的建立

　　指數(shù)平滑法一般有一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑法的預(yù)測模型為

　　指數(shù)平滑法在小浪底大壩變形

　　初始值的確定，即第一期的預(yù)測值。一般原數(shù)列的項數(shù)較多時（大于15項），可以選用第一期的觀察值或選用比第一期前一期的觀察值作為初始值。如果原數(shù)列的項數(shù)較少時（小于15項），可以選取最初幾期（一般為前三期）的平均數(shù)作為初始值。指數(shù)平滑方法的選用，一般可根據(jù)原數(shù)列散點圖呈現(xiàn)的趨勢來確定。如呈現(xiàn)直線趨勢，選用二次指數(shù)平滑法；如呈現(xiàn)拋物線趨勢，選用三次指數(shù)平滑法?；蛘撸?dāng)時間序列的數(shù)據(jù)經(jīng)二次指數(shù)平滑處理后，仍有曲率時，應(yīng)用三次指數(shù)平滑法。

　　系數(shù)α的確定指數(shù)平滑法的計算中，關(guān)鍵是α的取值大小，但α的取值又容易受主觀影響，因此合理確定α的取值方法十分重要，一般來說，如果數(shù)據(jù)波動較大，α值應(yīng)取大一些，可以增加近期數(shù)據(jù)對預(yù)測結(jié)果的影響。如果數(shù)據(jù)波動平穩(wěn)，α值應(yīng)取小一些。理論界一般認(rèn)為有以下方法可供選擇：經(jīng)驗判斷法。這種方法主要依賴于時間序列的發(fā)展趨勢和預(yù)測者的經(jīng)驗做出判斷。

　　1、當(dāng)時間序列呈現(xiàn)較穩(wěn)定的水平趨勢時，應(yīng)選較小的α值，一般可在0.05～0.20之間取值；

　　2、當(dāng)時間序列有波動，但長期趨勢變化不大時，可選稍大的α值，常在0.1～0.4之間取值；

　　3、當(dāng)時間序列波動很大，長期趨勢變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯且迅速的上升或下降趨勢時，宜選擇較大的α值，如可在0.6～0.8間選值，以使預(yù)測模型靈敏度高些，能迅速跟上數(shù)據(jù)的變化；

　　4、當(dāng)時間序列數(shù)據(jù)是上升（或下降）的發(fā)展趨勢類型，α應(yīng)取較大的值，在0.6~1之間。

　　試算法。根據(jù)具體時間序列情況，參照經(jīng)驗判斷法，來大致確定額定的取值范圍，然后取幾個α值進(jìn)行試算，比較不同α值下的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差，選取預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差最小的α。

　　在實際應(yīng)用中預(yù)測者應(yīng)結(jié)合對預(yù)測對象的變化規(guī)律做出定性判斷且計算預(yù)測誤差，并要考慮到預(yù)測靈敏度和預(yù)測精度是相互矛盾的，必須給予二者一定的考慮，采用折中的α值。

　　具體應(yīng)用以某軟件公司A為例，給出2000-2005年的歷史銷售資料，將數(shù)據(jù)代入指數(shù)平滑模型，預(yù)測2006年的銷售額，作為銷售預(yù)算編制的基礎(chǔ)。

　　根據(jù)經(jīng)驗判斷法，A公司2000-2005年銷售額時間序列波動很大，長期趨勢變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯且迅速的上升趨勢，宜選擇較大的α值，可在0.5～0.8間選值，以使預(yù)測模型靈敏度高些，結(jié)合試算法取0.5，0.6，0.8分別測試。經(jīng)過第一次指數(shù)平滑后，數(shù)列散點圖呈現(xiàn)直線趨勢，故選用二次指數(shù)平滑法即可。

　　根據(jù)偏差平方的均值（MSE）最小，即各期實際值與預(yù)測值差的平方和除以總期數(shù)，以最小值來確定α的取值的標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)測算當(dāng)α=0.6時，MSE1=1445.4；當(dāng)α=0.8時，MSE2=10783.7；當(dāng)α=0.5時，MSE3=1906.1.因此選擇α=0.6來預(yù)測2006年4個季度的銷售額。